"geçen günlere üzüldük tamam, yola düşelim

düşünelim..."

barış bıçakçı

Bu sene 'General Topology' adlı bi dersi takip ediyorum. Dersin hocası çok acayip güzel bir kitap seçti bu ders için: Topology Now! . Ben de burada yapabilirsem haftalık olarak kitabın bölüm bölüm bahsettiği kısımlardan hayran kaldığım/ sevdiğim/daha iyi öğrenmek istediğim/bu fikri yazı ile insanlara nasıl anlatabilirim dediğim şeyleri paylaşacağım.

Aslında böyle bir şey yapma fikri çoktandır aklımdaydı en çok da şu muhteşem sitenin sahibine özendiğim ve çok beğendiğim için. Kendisi şöyle anlatıyor amacını ; "Bu web sitesi ilk olarak 2015 yılında lisans düzeyinden lisansüstü matematik düzeyine geçmeme yardımcı olacak bir araç olarak oluşturuldu. Sıklıkla, matematik fikirlerinin yoğun bir formalite ve teknik jargonun arkasına gizlendiğini görürdüm. Geçiş sürecimin çoğu, altında yatan fikirleri, konseptleri ve kavramları açıkça görmek için bu sisle nasıl savaşılacağını öğrenmekti. Bu süreç boyunca yazmanın ve çizmenin çok yardımcı olduğunu öğrendim. Sonunda, başkalarının da onları yararlı bulabileceği umuduyla yazılarımı ve çizimlerimi web'de paylaşmaya karar verdim."

Benim maalesef ki böyle bir iddiam yok ama olsun isterdim :) İlgilenenlere kesinlikle siteyi kurcalamalarını tavsiye ederim ama.

Bu, giriş seviyesinde daha çok ilkin kitabı tanıtan ve amacımı az çok belli eden bir yazı olacak.

Kitabın önsözünü okuyarak başladığımızda yazarın amacını daha iyi anlıyoruz. Eğlenceli ve anlaşılır olma kaygısını yüksek tutuyor. de bir destekleyici siteleri var her türlü yorum, soru vesaireye çok açık olduklarını belirtiyor.

Şimdi, nihayet yazının başlığındaki mevzuya gelecek olursak...

Denklik, eşitlik, aynılık gibi kavramlara odaklanacağız. Mesela klasik bir örnekle başlayalım. Bir çocuğun önüne oyun hamurundan yapılmış küre, kare ve üçgen koysak bunları sınıflandır ya da hangileri aynı hangileri farklı desek. Bunların hepsi benim için aynı dese bazı yaş olarak büyük insanlar yanlış bir cümle kurduğunu söylerler ve kendilerince doğru olanı öğretmeye başlarlar.

Ya da şöyle düşünelim bir Amerikan ve Alman var bir takım nesneleri sayarken biri "one, two, three, four...." derken diğeri "eins, zwei, drei, vier ... " diyor. Esasında aynı şeyi yapıyorlar fakat farklı terminolojileri kullanıyorlar.

Matematik yaparken de denklik ve eşitlik gibi kavramlar önem taşıyor. Bir nesne tanımlandıktan sonra eğer o iki nesnenin ne zaman birbirine eşit olduğunu söylemezsek tanım eksik kalır hatta.

Ve matematiğin farklı alanlarında da farklı denklik ("equivalence") tanımları var. Mesela Doğrusal Cebir'de iki nesnenin(object) denkliği söz konusu olduğunda buradaki nesnelerimiz vektör uzaylarıdır, bu iki vektör uzayı arasında bir denklik bağıntısını eğer bir doğrusal fonksiyon bulabiliyorsak aralarında; öyle ki bu doğrusal fonksiyon bire bir ve örten olsun, diye tanımlarız. Bu yazıda değil ama ileriki yazılarda topolojideki denklik kavramını homeomorfizmalarla ifade edebileceğimizi göreceğiz.

Kitaptan şu kısmı aynen aktarıyorum:

"Topology is the study of geometric objects as they are transformed by continuous deformations. To topologist the general shape of the objects is more importance than distance, size, or angle. "

Birebir çeviri yapmayacağım ama buradaki en önemli vurguyu "sürekli deformasyonlar" kısmı hakediyor. Şimdi yavaş yavaş asıl gelmek istediğimiz yere gelelim. Şöyle bir soru soruluyor kitapta ;

Muhtemelen alabileceğimiz cevaplardan bazıları şöyle olurdu; "D,E ve G üçgenlerine denktir." "G daha küçük görünüyor aynı olamaz". "A bir "polygon" iken C bir "simple closed curved" aynı olmalarına imkan yok."." E üçgeni sanki aynı gözüküyor sadece belirli bir açıyla döndürülmüş hali gibi". Yunan filozof Heraklitos'a sorsak o zaten aynı nehirde iki kere yıkanılmaz diyerek direk safını belli ederdi. 🙂

Eğer geometrik olarak inceleseydik; açıların, uzunluğun ve bunun gibi bazı kavramların bizim için önemi olacaktı. Fakat biz bundan sonra hep topolojik olarak aynı olma ile ilgileneceğiz o da kabaca şöyle ifade edilebilir eğer ki nesnelerimizin oyun hamuru benzeri (ya da kauçuk) bir malzemeden yapıldığını düşünürsek eğip-büküp, parça eklemeden ve parça çıkarmadan (bu işlemleri de nasıl yapacağımız önemli) diğer şekli elde edebiliyorsak, bu iki nesneye denk diyebiliyoruz. Sürekli deformasyondan kastedilen biraz da bu işte. Bu yazıda bahsetmeyeceğim dedim ama sonrakilere hazırlık olsun diye şu güzel demoyu şimdiden inceleyebilirsiniz. Alfabenin birbirine homeomorf harfleri görülebiliyor.

Şimdi denklik ilişkisinin formel tanımını vererek başlayalım.

Bir X kümesi üzerinde tanımlanmış ikili bir ilişkinin (bunu şöyle gösterelim ~) denklik ilişkisi olması için her x, y, z ∈ X için,

• x ~ x (yansıma)
• eğer x ~ y ise y~ x (simetri)
• eğer x ~ y ve y ~ z ise o zaman x ~ z (geçişli)

koşulları doğru olmalıdır.

Burada ~ ile gösterdiğimiz ilişki aşina olduğumuz =, <, ≤,≥, ⊂,⊆ gibi ilişkiler olabildiği gibi başka şeyler de olabilir. Biraz daha somutlaşmıştır umarım.

Mesela "x, y'nin kardeşidir(aynı anababadan). " ilişkisi simetrik ve geçişli bir ilişkidir. Ama yansımalı değildir insanın kendi kendinin kardeşi olmayacağını varsayarsak.

Sayısal bir örneğe gelecek olursak da mesela sıralama mantığımızı düşünebiliriz. "x < y" ilişkisi ne yansımalı ne simetriktir ama geçişlidir gibi.

Kitabımızdaki örneği (Ex 1.3) inceleyecek olursak da; diyelim ki elimizde

ℤ={ ..., -2,-1,0,1,2,....} böyle tam sayılardan oluşan bir küme var. Bir X kümesi tanımlayalım ve onun üzerindeki tanımlayacağımız ilişkiyi inceleyelim. X = { (a,b) | a ∈ ℤ ve b ∈ ℤ, b ≠0 }

ve (a,b) ~(c,d) dir diyelim ancak ve ancak ad=bc ise. ve bunun bir denklik ilişkisi olduğunu gösterelim.

Yukarıdaki 3 koşulu da sağlaması gerekiyor. Tek tek tüm koşulları inceleyelim. Kümemizden şöyle 3 eleman alalım (a,b) , (c,d) , (e,f) ama şunu da unutmayalım b,d ve f 0'dan farklılar. (öyle tanımladık çünkü kümemizi)

1. (a,b) ~ (a,b) çünkü ab=ba

2.Diyelim ki (a,b)~(c,d). O zaman şunu biliyoruz ad=bc. Bunu şöyle de yazabiliriz ama değil mi cb = da, o da şuna denk (c,d) ~(a,b). Böylelikle 2.özelliği de sağladığını gördük.

3.Diyelim ki (a,b) ~c,d) ve (c,d)~(e,f). O zaman elimizde iki tane denklem vardır; ad=bc ve cf=de diye. E şunu biliyorduk b,d ve f 0'dan farklılar.

O zaman şu şekil yazabilme hakkımız var a/c = c/d ve c/d = e/f. E o zaman af=be olduğunu görmek zor değil. Bu da bize arzu ettiğimiz gibi (a,b) ~(e,f) veriyor.

Şöyle güzel bir sonuçta çıkıyor buradan; (a,b) ~ (c,d) ancak ve ancak a/c = c/d ise . Öyleyse biz tüm sıralı (a,b) çiflerinin denklik sınıfları ile a/b rasyonel sayılar arasında bir eşleşme yapabiliyormuşuz.

Burada durmada fayda görüyorum. :)

Hoşça kalmanız beni mutlu eder, hoşçakalın. :)

Ek Kaynak: Sezgisel Kümeler Kuramı/ Ali Nesin

Not: Dikkatli okuyucular fark etmiştir, kapak resminde olan ve yazımın içerisinde de değindiğim sorunun cevabını vermiyorum aslında. Sorunun cevabını bu serinin devamı olan ikinci yazımda vermeyi daha uygun gördüm.

A bir de belki de tek ihtiyacınız şu anda bir slider'dır bunu sizden başka kim bilebilir. İncelemekten kimseye zarar gelmez. Sitede İlker Canikligil de kısa bir tanıtımını yapıyor bakmak isterseniz.